Математика, Алгебра, Логика...

Крестьянка принесла на рынок корзину яблок. Первому покупателю она продала половину всех своих яблок и еще пол-яблока, второму — половину остатка и еще пол-яблока, третьему — половину остатка да еще пол-яблока и т. д.

Когда же пришел шестой покупатель и купил у нее половину оставшихся яблок и пол-яблока, то оказалось, что у него, как и у остальных покупателей, все яблоки целые и что крестьянка продала все свои яблоки. Сколько яблок она принесла на рынок?

 

Спойлер: центрифуга

Нужно смешивать в 2 захода: сначала смешать 3 пробирки, потом еще 2 добавить.

SV: так не пойдет. Верный ответ уже озвучен - необходимо разделить каждый образец на две части и симметрично заполнить 10 из 12 отсеков центрифуги.

 

Казино предлагает посетителям сыграть в такую игру: игрок делает некоторую фиксированную ставку, а затем подбрасывает монету, пока не выпадет орел т.е. монета подбрасывается до первого выпадения орла). Если орел выпал с первой попытки, игрок получает 1 рубль в качестве выигрыша и всё - геймовер. Если орел выпал со второй попытки, то выигрыш составит 2 рубля, если с третьей - 4 рубля и так далее, с возрастанием суммы выигрыша в два раза. Чем позже выпадет орел - тем больше сумма выигрыша.
Вопрос: какова должна быть величина вступительного взноса (ставки) чтобы казино не осталось в убытке?
_________________________________

Решение.
Для определения величины взноса надо определить так называемое математическое ожидание выигрыша, то есть величину среднего выигрыша игрока при достаточно большом (в идеале - бесконечно большом) числе игр. Оказывается, это математическое ожидание бесконечно велико, ибо является суммой расходящегося ряда. Действительно, вероятность первого выпадения орла - 1/2 (выигрыш - 1/2 рубля), вероятность выпадения только со второй попытки - 1/4 (выигрыш - 1/2 рубля), и так далее. Для каждого случая выигрыш составит полрубля, а при бесконечно большом числе игр - бесконечно большую сумму.

В этом и заключается Санкт-Петербургский парадокс. "Но что же тут парадоксального?" - скажет любой нормальный человек. - "Мало ли игр на свете:". Но, уважаемый, спросите себя: а какую сумму Вы сами были бы готовы заплатить за участие в такой игре, даже зная наверняка, что математическое ожидание Вашего выигрыша бесконечно велико? И здесь-то парадокс проявляет себя во всю мощь: подавляющее большинство готовы раскошелиться максимум на 10:20 рублей, редко кто согласится отвалить 50 рублей, а до сотни не добрался никто! Но почему, Боже мой? Или люди не видят явной выгоды (притом бесконечно большой выгоды)?
Но в данном случае человеческая интуиция оказывается все-таки на высоте, ибо разгадка Санкт-Петербургского парадокса формулируется просто и коротко: бесконечно больших выигрышей не бывает.

Никто не в состоянии сыграть бесконечно много игр. Если считать, что игрок физически не сможет подбросить монету более 100 000 раз за игру, то математическое ожидание становиться равным 50 000 рублей, что конечно. Но такие взносы тоже никто не сделает.
Но можно посмотреть на ситуацию иначе. Никакой игорный дом не способен уплатить сколь угодно большой суммы выигрыша. То есть, начиная с некоторого момента, выигрыш удачливого игрока составит лишь стоимость, скажем, всего имущества владельцев игорного дома - больше они просто не в состоянии ему дать. И потому, математическое ожидание выигрыша становится вполне конечной и реальной суммой. Пусть, например, стоимость всего имущества (максимальная возможная сумма выигрыша) составляет 10 000 000 рублей. Нетрудно подсчитать, что если орел впервые выпадает на 24-м броске, то выигрыш составит 223 = 8 388 608 рублей, а если на 25-м или позже, то игроку достанется 10 000 000 рублей. Поэтому математическое ожидание выигрыша составит по полрубля на первые 23 случая, 10 000 000/225 рублей на выпадение орла с 24-го раза, 10 000 000/226 рублей на 25-й случай и так далее. Нетрудно посчитать, что это около 12,6 рублей. Это несколько меньше, чем бесконечность.

 

В одной вымышленной стране на главпочтампе есть строгое правило - не принимать предметы длиною более одного метра. Пете же очень нужно отправить своей сестренке подарок - флейту, длина которой 1,5 метра.
Как же ему отправить подарок (не ломая и не разбирая)?

 

В тюрьму поместили 100 узников. Надзиратель сказал им:
"Я дам вам вечер поговорить друг с другом, а потом рассажу по отдельным камерам, и общаться вы больше не сможете. Иногда я буду одного из вас отводить в комнату, в которой есть лампа (вначале она выключена). Уходя из комнаты, вы можете оставить лампу как включенной, так и выключенной.

Если в какой-то момент кто-то из вас скажет мне, что вы все уже побывали в комнате, и будет прав, то я всех вас выпущу на свободу. А если неправ - скормлю всех крокодилам. И не волнуйтесь, что кого-нибудь забудут - если будете молчать, то все побываете в комнате, и ни для кого никакое посещение комнаты не станет последним."

Придумайте стратегию, гарантирующую узникам освобождение.

 

Есть бассейн в форме круга. От его бортика в направлении точно на север отплыла уточка. Проплыв 6 метров, она столкнулась с бортиком, и тогда повернула на восток, проплыла еще 8 метров и снова натолкнулась на бортик. Найти диаметр бассейна. Ответ принимается лишь с комментариями.